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端午别只知道吃,来看看粽子里面的几何学!

2018年06月21日 10:17:32  来源:新浪  编辑:滑稽

来源:“中国科普博览”公众号(ID:kepubolan)

粽子是端午节期间不可缺少的传统美食,中国的粽子不仅馅料丰富多样,形状也是五花八门,有竹筒形、长方形、圆锥形、金字塔形、三角形等,但是最常见的还是“四角粽子”,也就是四面体形状的粽子,接下来我们就从几何学角度,来解析一下粽子中的门道。

四面体在现实生活中不太常见,仅仅听名字也难以想象它的形状,其实它还有个更容易被接受的名字——

三棱锥

。所有三棱锥都有六条棱,四个角、四个面,每个面都是三角形,每个三角形面都与一个角相对,底面是正三角形,其他三个面相等(一定是等腰三角形)的三棱锥,被称为正三棱锥,如果底面和其他三个面完全相等,此时四个面一定都是正三角形,那么这就叫做正四面体。

粽子做成正四面体有什么好处?

以长方体、立方体为代表的平行六面体,其实切下一个角都可以构成一个四面体。但是为什么大多数人都不将粽子做成长方体,而是做成有些奇怪的四面体呢?首先,不同于平行六面体的不稳定性(例如立方体框架可以左右摇晃),四面体的性质非常稳定,只要确定六条棱的长度,就能拼出一个唯一的四面体。

因此四面体的粽子更不容易变形。

四角粽子虽然不一定是正四面体,但通常四个面也是相同的等腰三角形,将这个四面体的表面积拆开,可以得到两个相等的菱形,

这就意味着用两片相似的细长叶子,正好可以将其包裹住,做到了物尽其用。

正四面体还有个特点,就是拥有四条三重旋转对称轴,六个对称面,每两条对边都是相互垂直的,这就表明,

不管在容器中怎样摆盘,粽子们看上去都是整整齐齐的平躺着,不会给人横躺侧卧的感觉。

正三棱锥还有一个重心,同时也是它的外接球体和内切球体的球心,

就在顶点与底面重心的连线(高)上,将这条高分为3:1,也就是距离地面四分之一处。所以说,如果用牙签或筷子将粽子扎起来,找准这个点,就最能保证受力均匀,

不容易掉下或者碎裂

图片来源:image.so.com

正四面体的体积——一场穿越时间和空间的考证

粽子从外观上看,不太容易看出它的体积。虽然四面体的体积和圆锥形一样,是三分之一的底面积乘以高,但底面积和高也是不容易拿着直尺就测出来的。

阿基米德的排水法当然可以帮助快速地测出体积,但是要准备的量杯也不是太常见,而且粽子湿了之后,剥皮仿佛会更麻烦一些。这时候用到一个特殊的公式,只要知道六条棱的长度,就能知道四面体的体积。

这个公式名字叫

海伦-秦九韶公式

。由古希腊和古中国两位数学家分别发现。第一位发现者是海伦二世,又译为海龙、希伦、希罗等,是古希腊西西里岛(现属于意大利)上的锡拉库萨(又译为叙拉古)城邦国的国王,同时也是一位数学家、测量学家和机械工程师。他在著作《度量论》中就提到了用三角形的三条边求其面积的公式。这本书曾经一度失传,直到1896年,有人在君士坦丁堡发现了它的手抄本,并在1903年出版。但是五年后的1908年,就有人提出,这条公式其实是阿基米德发现的,只是假托海伦国王的名字,不过还没有证实。

不管在古希腊是哪位发现了这个公式,在中国的南宋时期,数学家秦九韶在《数书九章》提出了“

三斜求积术

”,主要用来测量三角形的土地面积,和海伦公式基本相同,只是证明方法不太一样。这个公式是:

(p为周长的一半)

图片来源:image.so.com

但是,海伦-秦九韶的公式都是用来算面积的,要想算体积还需要进一步加工。但是算出了底面积之后算出高也并不难,假设六条棱分别是a、b、c、d、e、f,经过推演,最后可以得出如下公式:

小小一个四面体的粽子,竟然有这么多几何学知识在其中,喜欢数学的朋友们不妨多观察一下,会有更多有趣的发现。

(本文中标明来源的图片均已获得授权)

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